Kapitel 1: Steigung

Wie berechnet man die Steigung einer Gerade ?

Die allgemeine Form lautet bei Geraden y = m x + n [ Definition: m = gibt den Wert der Steigung an;
n = y-Achsenabschnitt ].

Mit Hilfe des Steigungsdreiecks lässt sich die Steigung mühelos berechnen, sofern zwei Punkte bekannt sind, die auf dieser Geraden liegen !
Nehmen wir an, dass wir die Punkte P1 (X1/Y1) und P2 (X2/Y2) kennen.

Leider ergeben nicht alle Funktionen eine Gerade! Oftmals sind es z.B. Parabeln oder Hyperbeln, bei denen man nicht sofort die Steigung mit einem Steigungsdreieck berechnen kann.
Man kann die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P bestimmen, indem man eine Tangente in diesem Punkt P einzeichnet und dessen Steigung berechnet. [ Steigung der Tangente im Punkt P = Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P ]

Wie bestimme ich die Steigung in einem Punkt ?

(Abb. 2: Steigungsdreieck an der Tangente im Punkt P)

Formel: m = dY : dX Bsp.: P1 (2/4) und P2 (3/9) m = (9 - 4) : (3 - 2) = 5

Beispielaufgabe:

Aufgabe: Berechnet die Steigung in den Punkten P1 (0/0), P2 (1/3) und P3 (-0,5/ f [-0,5]) bei der Funktion 3x³.

1. Bei dem Punkt P1 (0/0) weiss man, dass die Steigung in diesem Punkt 0 sein muss !

2. Man zeichnet den Graphen und dafür benötigt man natürlich ein paar Punkte, die ich im Folgenden bestimmt habe:

Wenn man mit diesen Werten einen Graphen gezeichnet hat, legt man an den zu bestimmenen Punkten, also P1 (0/0), P2 (2/24) und P3 (-0,5/ f [-0,5]), jeweils eine Tangente an. Danach zeichnet man bei jeder Tangente ein Steigunsdreieck ein !

3. Berechnung der Steigungen:

P1 (0/0) : m = 0
P2 (1/3) : m = Y1 : X1 = 4,9 : 0,5 = 9,8
P3 (-0,5/ f [-0,5]) : m = Y1 : X1 = (-0,8) : (-0,5) = 1,6

Hinweis: Sollte Y1 und X1 nicht mit Deinen Werten übereinstimmen, bitte keine Sorgen machen !! Es hängt davon ab, wie groß man das Steigungsdreieck gewählt hat. Aber die Steigung ist dieselbe, könnte aber, weil es zeichnerisch errechnet wurde, um 0,1 - 0,5 von diesem Wert abweichen.

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Kapitel 2: Ableitungen

Der Grenzwert bildet die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle a.

Ableitung an der Stelle a: f' (a):

Regeln zur Bildung von Ableitungen:

f(x) = n * xⁿ
f'(x) = n * x^n-1

Beispiele:

Allgemein gültige Regel:

[a = Faktor; x = Wert; n = Potenz von x]

Aber was passiert, wenn f(x) = x ? Oder wenn f(x) = 4x ?

Wenn in einer Funktion nur ein x vorkommt und die Potenz nicht höher als 1 ist, bleibt nur der Faktor stehen, x fällt dann weg.

Einige Funktionen haben aber gar keinen x-Wert, was dann ??

Antwort: Die Ableitung ist immer 0 ! Auch wenn f(x) = 1.000.000.000.000.000.000 ist.

Noch zwei Beispiele mit :

Bislang kamen immer nur Multiplikationen in den Funktionen vor. Auch das ist nicht immer der Fall.
Beispiel:
f(x) = a (x) + b (x)
f'(x) = a'(x) + b' (x)
[Man bildet einfach von jedem Sumanden die Ableitung]

Es gibt aber nicht immer nur eine Ableitung, sondern meistens 3 (f', f'' und f'''). Die Anzahl der "Hochstriche" gibt an, welche Ableitung es ist.
Beispiel an f(x) = x⁸:

f'(x) = 8x⁷
f''(x) = 56x⁶
f'''(x) = 336x⁵

Kurzes Wort zu den Ableitungen der Winkelfunktionen:

sin ' x = cos x
cos ' x = -sin x
tan ' x = 1 : cos² x
cos ' x = -1 : sin² x

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Kapitel 2.1: Kettenregel

Allgemein geschriebene Formel:

[äußere Ableitung x innere Ableitung]

Beispiel:

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Kapitel 2.2: Produktregel

Allgemein geschriebene Formel:

Beispiel:

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Kapitel 2.3: Quotientenregel

Allgemein geschriebene Formel:

Beispiel:

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Kapitel 3: Kurvendiskussion

Ich möchte zuerst 3 Teile der Kurvendiskussion erklären: Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte !

1) Nullstellen:
Die Nullstellen geben an, wo der Graph der Funktion f(x) die x-Achse schneidet.

Bedingung, dass Nullstellen existieren: f(x_n) = 0 !

Beispiel: Es ist folgende Funktion gegeben: f(x) = x³ - 4x²

Berechnung der Nullstellen:
x³ - 4x² = 0
Die ganze Funktion soll mit 0 gleichgesetzt werden.

Im Folgenden werde ich es mit der quadratischen Ergänzung zeigen, wie man diese Gleichung nach x auflöst:

x³ - 4x² = 0

Lösung: Die Nullstellen dieser Funktion sind bei 0 und 4 !

2) Extremstellen:

Extremstellen, auch Hoch- und Tiefpunkte genannt, haben die Eigenschaft, dass die Steigung 0 ist ! Die Hochpunkte kann man z.B. mit einem Berg vergleichen. Ganz egal, wie hoch der Berg ist, sein oberster Punkt ist immer flach.

Bedingung, dass Extrempunkte existieren: f'(x) = 0 !

Beispiel: Folgende Funktion ist gegeben: f(x) = x³- 8x² + 7x

Berechnung der Extrempunkte:
1. Ableitung von f(x) = x³- 8x² + 7x bilden: f'(x) = 3x² - 16x + 7
2. Gleichsetzen mit Null: 3x² - 16x + 7 = 0
Die ganze Funktion soll gleich 0 sein.

[Die Extrempunkte liegen bei x = 4,9 und x = 0,5]

Jetzt ist man aber noch nicht fertig mit dieser Aufgabe. Das sind ja erst die x-Werte. Jetzt muss man noch die y-Wert bestimmen. Und das macht man folgendermaßen: Man setzt diese ermittelten x-Werte in die Ausgangsfuntion ein:

f(x) = x³ - 8x² + 7x
f(x) = 4,9³ - 192,08 + 34,3
f(x) = -40,131
y = -40,131

f(x) = x³ - 8x² + 7x
f(x) = 0,5³ - 2 + 3,5
y = 1,625

E1 = (4,9/-40,131) und E2 = (0,5/1,625)

3) Wendepunkte:

Wendepunkte sind die Stellen im Graphen, bei denen z.B. aus einer Linkskurve in eine Rechtskurve wird und umgekehrt.
Um Wendepunkt ermitteln zu können, muss man die 2. Ableitung bilden !!

Beispiel:

f(x) = -x³ - 2x² + 2
1: 1. Ableitung bilden: f'(x) = -3x² - 4x
2: 2. Ableitung bilden: f''(x) = -6x - 4 [Nur die 2. Ableitung bitte verwenden !!!]

Nun setzt man diese Gleichung mit 0 gleich !
-6x - 4 = 0
Jetzt nach x Auflösen:
6x = -4
x = -4 : 6
x = -0,667
Nun muss man noch den y-Wert ausrechnen. Man setzt auch hier den ermittelten x-Wert in die Ausgangsfunktion ein:
f(x) = -x³ - 2x² + 2
f(x) = -(-0,667)³ - 2(-0,667)² + 2
f(x) = 1,407
y = 1,407

Lösung: Der Wendepunkt liegt also bei P[(-0,667)/1,407]

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Kapitel 4: Beispielaufgaben

In diesem Kapitel findet Ihr jeweils zu jedem Thema noch einmal eine Beispielaufgabe:

- Steigung einer Geraden

- Steigung in einem Punkt P mit Hilfe einer Tangente

- Berechnung der Steigung einer Sekante mit Hilfe einer Polynomdivision

- 1. Ableitung

- 2. Ableitung

- 3. Ableitung

- Spezialfälle der Ableitung

- Nullstellen

- Extrempunkte

- Wendepunkte

1) Steigung einer Geraden:

Gegeben: P1 (12/12) und P2 (600/300)

m = (Y2 - Y1) : (X2 - X1) = (300 - 12) : (600 - 12) = 0,5

Antwort: Die Steigung dieser Geraden ist 0,5.

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2) Steigung in einem Punkt P mit Hilfe einer Tangente:

Nehmen wir an, es sind zwei Punkte (X1 und X2) auf einer Tangente gegeben, die durch den Punkt P verläuft:

X1 (3,45/7,89) und X2 (8,99/12,34)

Dann weiss man: Y1 = 12,34 - 7,89 und X1 = 8,99 - 3,45

Y1 = 4,45 und X1 = 5,54

Daraus folgt: m = Y1 : X1 = 4,45 : 5,54 = 0,8

Antwort: Die Steigung in dem Punkt P beträgt 0,8.

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3) Berechnung der Steigung einer Sekante mit Hilfe einer Polynomdivision:

Gegeben ist die Funktion f(x) = (x+2)² und der Punkt P (1/y)

1. Man muss einen zweiten Punkt festlegen, also z.B. Q (x/y)
2. Man muss jetzt den y-Wert vom ersten und zweiten Punkt ausrechnen, indem man den x-Wert ind die Ausgangsfunktion einsetzt:
P (1/9) und Q [x / (x+2)²]

3. Steigung ausrechnen: m = (Y2 - Y1) : (X2 - X1) = [(x+2)²-9] : x - 1

4. Polynomdivision anwenden:

Steigung der Sekante: m = x + 5.

Jetzt könnte man noch die Tangentensteigung berechnen: m = lim (x + 5) = 6

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4) 1. Ableitung

f(x) = 12x¹²+24x⁹-33x
f'(x) = 144x¹¹+216x⁸-33

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5) 2. Ableitung:

f(x) = 12x¹²+24x⁹-33x
f'(x) = 144x¹¹+216x⁸-33
f''(x) = 1584x¹⁰+1728x⁷

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6) 3. Ableitung:

f(x) = 12x¹²+24x⁹-33x
f'(x) = 144x¹¹+216x⁸-33
f''(x) = 1584x¹⁰+1728x⁷
f'''(x) = 15840x⁹+12096x⁶

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7) Spezialfälle der Ableitung:

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8) Nullstellen:

Die Funktion 6x³ - 7x² - 4x ist gegeben:

6x³ - 7x² - 4x = 0
6x² - 7x - 4 = 0
x² - 1,167x = 0,667
x² - 1,167x + 0,583² = 0,667 + 0,34
(x - 0,583)² = 1,01

Antwort: Die Nullstellen liegen ungefähr bei 1,583 und -0,417.

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9) Extrempunkte:

Die Funktion x³+7x² +2x ist gegeben:

1. Erste Ableitung bilden: f'(x) = 3x² + 14x + 2

3x² + 14x + 2 = 0
x² + 4,67x = -0,67
x² + 4,67x + (2,33)² = -0,67 + 5,44
(x + 2,33)² = 4,77

f(x) = (-0,15)³ + 7 (-0,15)² + 2 (-0,15)
f(x) = -0,15

und

f(x) = (-4,51)³ + 7 (-4,51)² + 2 (-4,51)
f(x) = 41,63

Antwort: Die Extrempunkte in diesem Graphen liegen bei E1 (-0,15/-0,15) und E2 (-4,52/41,63).

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10) Wendepunkte:

2. Ableitung einer Funktion f''(x) = 0 setzen:

Funktion: x³+7x² +2x

f'(x) = 3x² + 14x + 2
f''(x) = 6x + 14

6x + 14 = 0
6x = -14
x = -2,33

x-Wert in die Ausgangsfunktion einsetzen:

f(x) = (-2,33)³ + 7 (-2,33)² + 2 (-2,33)
f(x) = 20,70

Antwort: Der Wendepunkt liegt bei Pw (-2,33/20,70).

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