Kapitel 1: Einführung in die Analytische Geometrie in vektorieller Darstellung

1) Was ist ein Vektor ?

Eine Klasse paralleler Pfeile mit gleicher Länge und gleichem Richtungssinn heißt Vektor. Es gibt verschiedene Möglichkeiten Vektoren zu kennzeichnen: Kennzeichnung durch einen Pfeil, durch Fettdruck oder durch eine Unterstreichung.Wir geben nun einem Vektor den Namen a:

Seine Eintragungen, also die Zahlen 2,-1 und 2 sind seine Komponenten. Die erste Komponente ist 2, die zweite -1 usw.. Da diese Komponenten nebeneinander geschrieben sind, nennt man ihn Zeilenvektor. Die zweite Möglichkeit, wie man es auch schreiben könnte, ist:

Die Eintragungen des Vektors sind nun untereinander geschrieben und deshalb spricht man hier von einem Spaltenvektor.
Vektoren, die nur zwei Eintragungen haben, sind zweidimensional (oder zweikomponentig) und Vektoren, die drei Eintragungen haben sind dreidimensional (oder dreikomponentig). Allgemein spricht man von n-dimensionalen (n-komponentigen) Vektoren. Wenn n = 1 ist, dann spricht man entweder von einem eindimensionalen Vektor oder von Skalaren. Zahlen bezeichnet man dennach in der Analytischen Geometrie/Lineare Algebra als Skalare.

2) Betrag eines Vektors:

In einer Ebene	Im Raum
Betrag:	Betrag:

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Kapitel 2.1: Addition

Graphisch addiert man zwei Vektoren, indem man einen der Vektor so parallel verschiebt, dass sein Anfangspunkt am Endpunkt des anderen Vektors liegt. Dann verbindet man den Anfangspunkt des einen Vektors mit dem Endpunkt des anderen Vektors.

Für Vektoraddition gilt:

Beispiel:

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Kapitel 2.2: Subtraktion

Die Differenz - ergibt den Vektor , der mit addiert, den Vektor ergibt.

Beispiel:

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Kapitel 2.3: Multiplikation

Ein Vektor im n-dimensionalen Raum lässt sich sowohl mit einem Skalar (Zahl), als auch mit einem anderen Vektor im n-dimensioalen Raum multiplizieren.

1) Skalar-Multiplikation:

2) Multiplikation zweier Vektoren:
Skalarprodukt: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt eine skalare Größe und ist definiert durch:

Beispiel: Berechne folgendes Skalarprodukt

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Kapitel 3: Kollinearitätsbedingungen

Was heißt eigentlich kollinear ?
Kollinear bedeutet eigentlich nichts anderes als parallel. Zwei Vektoren sind dann zueinander kollinear (parallel), wenn einer von den beiden Vektoren ein Vielfaches von dem anderen ist.

1. Ist einer von zwei Vektoren 0, so sind sie immer kollinear.

2. Zwei von 0 verschiedene Vektoren ( und ) sind genau dann kollinear, wenn einer von den Vektoren ein Vielfaches des anderen Vektors ist.
(d.h. wenn es ein Skalar gibt, so dass = c * und damit auch = : c ist).

3. Auch wenn zwei Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen, sind sie kollinear.

Beispiel:

Diese beiden Vektoren sind kollinear zueinander, da der Vektor multipliziert mit dem Skalar 2 den Vektor ergibt.

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Kapitel 4: Komplanaritätsbedingungen

Was heißt eigentlich komplanar ?
Komplanar bedeutet, dass Vektoren in einer gemeinsamen Ebene liegen (also nicht windschief zueinander liegen).

Komplanaritätsbedingung: , wobei x und y Skalare sind.

Damit Vektoren parallel (komplanar) zueinander liegen, muss einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen Vektors sein. So auch bei 3 Vektoren.

Beispiel:

Alle Vektoren besitzen drei Komponenten, so dass man jetzt drei Gleichungen aufstellen muss. Damit Vektoren parallel zueinander liegen, muss einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen Vektors sein!

Gleichung I:
Gleichung II:
Gleichung III:

Nun hat man drei Gleichungen und zwei Variablen. Nun wendet man das Additions-, Subtraktions- oder Einsetzungsverfahren an. Um diese Aufgabe zu lösen, wende ich jetzt das Subtraktionsverfahren an: dazu suche ich mir zwei Gleichungen aus (I und III):

Schritt 1:	Schritt 2:	Schritt 3:
Gleichung nach y auflösen	y in Gleichung I oder III einsetzen	y und x in Gleichung II einsetzen

Anhand des letzten Schritts kann man erkennen, dass das Ergebnis ungleich ist, somit können die Vektoren nicht komplanar sein !

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Kapitel 5: Determinanten

Definition:
Eine Determinante ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix A(n/n) mit reellen Zahlen als Elemente eindeutig eine reelle Zahl zuordnet. Man verwendet z.B. Determinanten, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Determinanten zweiter Ordnung:

Das Produkt der Elemente der Hauptdiagonale minus Produnkt der Elemente der Nebendiagonale

Determinate dritter Ordnung:

Die blau makierten Verbindungslinien sollen die Additionen (+), die rot makierten die Subtraktionen (-) verdeutlichen (s. oben). Nur für die dreireihigen Determinaten können die Summanden mit Hilfe der "Regel von Sarrus" ermittelt werden.

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Kapitel 6.1: Parameterdarstellung von Geraden

Eine Gerade ist unendlich lang und kann mit Hilfe eines Punktes A und einem Richtungsvektor festgelegt werden. Für jeden Punkt X gilt:

Wenn eine Punkt A(1/2/-1) und ein Richtungsvektor gegeben sind, so ergibt sich folgende Parameterdarstellung:

Der Punkt A wird hier also zum Stützvektor (oder auch Ortsvektor genannt), ist der Richtungsvektor und t ist ein Parameter.

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Kapitel 6.2: Punkt auf Gerade (Punktprobe)

Um zu überprüfen, ob ein Punkt P auf einer Geraden g liegt, kann das am häufigsten angewandte Verfahren, die Punktprobe, angewendet werden. Wenn ein Punkt auf der Geraden liegt, so muss es einen eindeutigen Wert für den Parameter t geben, der die Parameterdarstellung der Geraden g erfüllt.
Folgendes ist bekannt:

	Man setzt den gegebenen Punkt mit der Vektorgleichung der Gerade gleich. Es muss einen eindeutigen Wert für den Parameter t geben, damit die Vektorgleichung erfüllt ist und der Punkt auf der Gerade liegt.
	Umschreibung der Vektorgleichung in ein Gleichungssystem. Das System besteht aus nur einer Variablen t und ist somit lösbar.
t = 2 t = 2 t = 2	Das Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung {t = 2}. Der Punkt P liegt auf der Gerade mit dem Parameterwert t = 2.

Dieses Verfahren zur Bestimmung von Punkten auf Geraden ist die häufigst angewandte Methode, da sie schnell und einfach zu handhaben ist. Punktproben gibt es auch bei Ebenen, nur dass dort zwei Parameter berechnet werden müssen.

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Kapitel 6.3: Schnittpunkte von Geraden

Zunächst kann man untersuchen, ob die beiden Geraden zueinander parallel sind. Geraden sind genau dann parallel zueinander, wenn die Richtungsvektoren und ein Vielfaches voneinander sind. Ist dies der Fall, so kann es keinen Schnittpunkt geben. Der Schnittpunkt ist ein gemeinsamer Punkt der Geraden g und h. Es muss also gelten:



Wenn es einen Schnittpunkt gibt, müssen die Parameter s und t die Vektorgleichung erfüllen.

Beispiel:
Folgende Geraden g und h sind gegeben:

Aufgabe: Bestimmen Sie den Schnittpunkt!

1.		Aufstellen eines Gleichungssystems mit 2 Variablen (s,t).
2.		Man berechnet s und t; z.B. aus den ersten beiden Gleichungen.
3.	s = 2 und t = -1	Man erhält zwei Parameter, die nun überprüft werden müssen.
4.		Durch Einsetzen der Parameter s und t in die dritte Gleichung, kann man überprüfen, ob das gesamte Gleichungssystem zu lösen ist.
5.		Hier wurde s = 2 in die Vektorform von g eingesetzt und ausgerechnet. Als Ergebnis erhält man den Schnittpunkt S (1/-2/0).
6.		Zur Probe wurde t = 1 in die Vektorform von h eingesetzt. Man erhält denselben (Schnitt)punkt.

Das Ergebnis ist eindeutig: Der Schnittpunkt der Geraden g ung h ist S(1/-2/0). Wenn man dem Punkt dann immer noch nicht vertraut, könnte man noch einmal zur Überprüfung die Punktprobe machen (s. Kapitel 6.2).

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Kapitel 7: Orthogonalität

Orthogonal bedeutet nichts anderes als senkrecht. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, so stehen sie senkrecht zueinander. Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn das Skalarprodukt Null ist.
Bedingung:

Skalarprodukt zweier Vektoren:


Beispiel 1:

Beispiel 2:

Die beiden Vektoren sind orthogonal, da das Skalarprodukt Null ist.

Winkel zwischen zwei Vektoren und (verschieden vom Nullvektor), die in unterschiedliche Richtungen zeigen:

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Kapitel 8.1: Parameterdarstellung einer Ebene

Eine Ebene ist eine unendliche Fläche und kann mit Hilfe eines Punktes A und zwei Richtungsvektoren und festgelegt werden. Für jeden Punkt X gilt:

Wenn eine Punkt A(3/-2/0) und zwei Richtungsvektoren gegeben sind, so ergibt sich folgende Parameterdarstellung:

Der Punkt A wird zum Stützvektor (oder auch Ortsvektor genannt), und sind die Richtungsvektoren, s und t sind Parameter.

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Kapite 8.2: Koordinatengleichung einer Ebene

Eine Ebene lässt sich nicht nur als Parameterdarstellung beschreiben, sondern auch mit Hilfe einer Koordinatengleichung angeben. Es entsteht dabei eine lineare Gleichung.
Hierbei spielt nun der Normalenvektor eine große Rolle. Der Normalenvektor (ein Lotvektor) ist eine Normale (ein Lot), die orthogonal (s. Kapitel 7) zur Ebene liegt. Mit einem Punkt und einem Normalenvektor lässt sich eine Ebene festlegen. Es muss folgendes gelten:

Nun wird die Gleichung so umgeschrieben, dass der Ortsvektor direkt auftritt:

Beispiel:
Gegeben sind:

Den Normalenvektor und den Punkt A setzt man nun in die oben umgeformte Gleichung ein:

Wenn man die Skalarprodukte ausrechnet, erhält man die Koordinatengleich 2x + 4y - 3z = 21.

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Kapitel 8.3: Von einer Koordinatengleichung einer Ebene zu einer Parameterdarstellung und umgekehrt

(1) Von einer Koordinatengleichung zu einer Parameterdarstellung:

Anhand eines Beispiels werde ich die einzelnen Schritte erklären. Lediglich eine Koordinatengleichung muss gegeben sein.
Gegeben: x - 2y + 3z = 8

Zunächst sucht man einen Punkt, der diese Gleichung erfüllt; damit hat man bereits einen Stütz- bzw. Ortsvektor. Man definiert z.B. x = 0 und z = 0. Somit ergibt sich für y = -4, da die Gleichung sonst nicht erfüllbar wäre.
Der Punkt A(0/-4/0) liegt in der Ebene. Der Stütz- bzw. Ortsvektor ist festgelegt. Es gibt aber auch noch viele andere Möglichkeiten, je nach dem wie man x,y und z definiert.
Der Normalenvektor lässt sich sofort bestimmen:

Die beiden Richtungsvektoren und müssen orthogonal zu dem Normalenvektor sein ! Es muss also gelten:

, also gilt:

Man legt zwei Variablen fest und berechnet dann die dritte Variable. Wichtig ist hierbei, dass sich die Vektoren und deutlich voneinander entscheiden. Sie dürfen kein Vielfaches voneinander sein, denn dann würden sie in dieselbe Richtung zeigen und es würde keine Ebene aufgespannt werden.

Nun hat man den Stütz- bzw. Ortsvektor und die Richtungsvektoren. Damit lässt sich nun eine Parameterdarstellung aufstellen:

(2) Von einer Parameterdarstellung zu einer Koordinatengleichung:

Auch hier werde ich es anhand eines Beispiels erklären. Hier muss eine Parameterform einer Ebene E gegeben sein:

1. Es muss folgendes gelten:

= 0 !

Nun muss man aus diesen beiden Gleichungen den Normalenvektor versuchen zu bestimmen:

Da man nun den Normalenvektor bestimmt hat, gelten noch folgende Bedingungen:

Hiermit ergibt sich als Koordinatengleichung: 2x - 8y + z = -6.

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Kapitel 8.4: Punkte auf Ebenen (Punktprobe)

Ein Punkt ist auf einer Ebene, wenn die Koordinatengleichung einer Ebene erfüllt ist, oder wenn es eindeutige Parameterwerte (s,t) bei der Parameterform einer Ebene gibt.
(1) Liegt der Punkt P(4/1/-6) auf der Ebene 2x - 8y + z = -6 ?

Lösung: Dies ist ein einfacher Fall; man muss lediglich den Punkt [P(x/y/z)] P(4/1/-6) in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen:
8 - 8 - 6 = -6
-6 = -6
Die Gleichung ist mit diesem speziellen Punkt P erfüllt, da -6 = -6 ist.

(2) Liegt der Punkt P(4/1/-6) auf der Ebene ?

Lösung: Setzt man den Punkt mit der Parameterform der Ebene gleich, so müssen die Parameter s und t eindeutige Lösungen haben, sofern der Punkt auf der Ebene liegt. Ist dies nicht der Fall, so liegt der Punkt nicht auf der Ebene.

Lösen des Gleichungssystems:

Setzt man die Parameter s und t in alle Gleichungen zur Überprüfung ein, so erhält man nur lösbare Gleichungen. Mit s = 1 und t = -2 ist das System eindeutig lösbar. Der Punkt P(4/1/-6) liegt damit auf dieser Ebene.

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Kapitel 8.5: Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Zwei Ebenen in Koordinatenform sind genau dann parallel, wenn bei den Ebenen
E1: 2x + 8y - 6z = -4 und E2: 4x + 16y - 12z = d
folgendes erfüllt ist:

Wenn d = -4 ist, so sind die Ebenen E1 und E2 identisch. Wenn ist, dann sind die beiden Ebenen E1 und E2 parallel. Trifft keines der beiden Fälle zu, so schneiden sich die Ebenen und es bildet sich eine Schnittgerade (s. Kapitel 8.6).

In Parameterform sind zwei Ebenen parallel, wenn die Richtungsvektoren und ein Vielfaches voneinander sind. Identisch sind sie, wenn auch die Orts- bzw. Stützvektoren ein Vielfaches voneinander sind.

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Kapitel 8.6: Schnittgerade zwischen zwei Ebenen

Schneiden sich zwei Geraden, so gibt es einen Schnittpunkt. Bei Ebenen gibt es keinen Schnittpunkt, sondern eine Schnittgerade. Gegeben sind zwei Ebenen:
E1: 5x + 2y + 3z = 30
E2: 10x + 7y - 12z = 45

Für die Schnittgerade g ergibt sich:

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Kapitel 8.7: Spurpunkte

Die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen heißen Spurpunkte der Ebene. Man bestimmt Spurpunkte, indem man in die Koordinatengleichung 2 Koordinaten gleich Null setzt und den dritten Wert ausrechnet.

Beispiel: Gegeben ist die Koordinatengleichung folgender Ebene E: 3x + 2y - 4z = 1.

Schnittpunkt der x-Achse: y = 0 und z = 0
3x + 0 + 0 = 1
3x = 1
x =
Der Spurpunkt auf der x-Achse ist: Ax ( / 0 / 0)

Schnittpunkt der y-Achse: x = 0 und z = 0
0 + 2y + 0 = 1
2y = 1
y =
Der Schpurpunkt der y-Achse ist: Ay (0 / / 0)

Schnittpunkt der z-Achse: x = 0 und y = 0
0 + 0 - 4z = 1
-4z = 1
z =
Der Spurpunkt der z-Achse ist: Az (0 / 0 / )

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Kapitel 9.1: Abstand Punkt-Punkt

Wenn man den Abstand zwischen zwei Punkten (A und B) wissen möchte, so muss man die Länge der Strecke bzw. den Betrag (AB) bestimmen:

Der Betrag ist wie in Kapitel 1 beschrieben durch: definiert.
Sind die Punkte A(4/3/2) und B(1/3/7) gegeben, so gilt für den Abstand der Punkte:


Der Abstand der beiden Punkte beträgt ca. 5,83LE.

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Kapitel 9.2: Abstand zwischen Gerade und Punkt

Der Abstand zwischen Gerade und Punkt soll mit Hilfe der Lotgeraden (geometr. Lösung) bestimmt werden.

Es sei eine Gerade g und ein Punkt gegeben, der kein Element der Geraden g ist. Fällt man eine Lotgerade von dem Punkt P auf die Gerade g, so erhält man den Lotfußpunkt Q. Der Lotfußpunkt Q ist jedoch im Gegensatz zum Punkt P ein Element der Geraden g. Um nun den Abstand (also |PQ|) zu bestimmen, nutzt man aus, dass der Vektor PQ orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden g ist.

Beispiel: Gegeben sind g und der Punkt P:

Der Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g beträgt 15 LE.

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Kapitel 9.3: Abstand windschiefer Geraden

Auch hier soll der Abstand zweier zueinander windschiefer Geraden geometrisch bestimmt werden. Wie so oft, wird auch hier die Orthogonalität ausgenutzt.
Hinweis zur Skizze: Die Geraden g und h sind windschief zueinander, d.h, dass es keinen Schnittpunkt gibt, auch wenn es vielleicht irrtümlicher Weise so in der Skizze aussehen mag.

Der Punkt P ist Element der Geraden h und der Punkt Q ist Element der Geraden g. Wenn zwei Geraden g ung h gegeben sind, so gilt:

Wobei und die Richtungsvektoren der Geraden g und h sind.

Beispiel: Gegeben sind g und h:




Mit diesen Gleichungen müssen nun noch die Parameter s und t ermittelt werden:

Mit den Werten s = -2 und t = 1 kann nun PQ und damit auch der Abstand |PQ| bestimmt werden:

Damit beträgt der Abstand dieser zueinander windschiefer Geraden (g und h) 14LE.

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Kapitel 9.4: Abstand zwischen Ebene und Punkt

Der Abstand (P;E) ist die kleinste unter den Entfernungen des Punktes P von allen Punkten der Ebene E. Man fällt das Lot vom Punkt auf die Ebene. Der Lotfußpunkt F ist dann derjenige Ebenenpunkt, welcher P am nächsten liegt: |PF| = Abst(P;E).

An einem Beispiel soll das Prinzip erläutert werden:

Der Lotfußpunkt F ist ein Punkt der Ebene E und somit gilt:
(1)

Aus der Zeichnung (s. oben) ergibt sich ebenfalls für den Lotfußpunkt F:
(2)

Mit (1) und (2) folgt:

Damit ist der Lotfußpunkt F:

Der Abstand des Punktes P von der Ebene E beträgt 6LE.

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Kapitel 9.5: Abstand zwischen Ebene und Gerade

Die folgenden zwei Kapitel lassen sich relativ schnell abhandeln, denn Ebene und Gerade bilden nur dann einen Abstand, wenn sie parallel zueinander sind. Um den Abstand zwischen Ebene und Gerade zu bestimmen, sucht man sich irgendeinen Punkt auf der Gerade (z.B. den Orst-/Stützvektor) und verfährt dann wie in Kapitel 9.4 mit der Lotgeraden (Abstand Ebene-Punkt).

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Kapitel 9.6: Abstand zwischen Ebene und Ebene

Auch dieses Kapitel lässt sich schnell abhandeln. Man sucht sich einen Punkt auf der einen Ebene und bestimmt dann den Abstand zwischen diesem Punkt und der anderen Ebene, also wie in Kapitel 9.4.

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Kapitel 10.1: Die Kreisgleichung im 2-dimesionalen Raum

Definition eines Kreises: DerAbstand aller Punkte X auf dem Kreisrand zum Mittelpunkt M ist gleich groß; man bezeichnet ihn als Radius r.

Somit gilt für die Kreisgleichung:

und für die Koordinatengleichung:

Beispiel 1:
Geben Sie für den Kreis mit dem Mittelpunkt M(-4/3) und dem Radius r = 6 eine Kreis- und Koordinatengleichung an.
Kreisgleichung:
Koordinatengleichung:

Beispiel 2:
Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises mit der Gleichung.
Die Gleichung des Kreises ist in die Form bringen.

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Kapitel 10.2: Lagebeziehung zwischen Punkt und Kreis

Gegeben sind ein Punkt P und ein Kreis mit . Dann gilt:

	P liegt innerhalb des Kreises
	P liegt auf dem Kreis
	P liegt außerhalb des Kreises

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Kapitel 10.3: Lagebeziehung zwischen Gerade und Kreis